Soal dan Pembahasan – Tes Kemampuan Akademik (TKA) Matematika SMA Paket 1

Soal Nomor 1

Pembahasan :

Soal Nomor 2

Diketahui jumlah dua bilangan ganjil positif adalah 40 sedangkan selisihnya 6
Tentukan pernyataan berikut yang bernilai benar dengan memberi tanda centang (√) pada kotak di depan pernyataan yang benar. Jawaban benar lebih dari satu.

( ) Nilai bilangan terbesar lebih besar dari 20

( ) Nilai bilangan terkecil lebih kecil dari 20

( ) Nilai bilangan terbesar bilangan komposit

( ) Nilai bilangan terkecil bilangan prima

Pembahasan :

Misalkan dua bilangan ganjil positif tersebut dinotasikan oleh x dan y dengan x > y sehingga diperoleh sistem persamaan linear

Jumlahkan kedua persamaan tersebut sesuai ruasnya sehingga didapat 2x = 46 atau disederhanakan menjadi x = 23 Substitusi akan menghasilkan y = 17
Cek Pernyataan 1:
Perhatikan bahwa x = 23 merupakan bilangan terbesarnya. Jelas bahwa x = 23 > 20 sehingga Pernyataan 1 benar.
Cek Pernyataan 2:
Perhatikan bahwa y = 17 merupakan bilangan terkecilnya. Jelas bahwa y=17 < 20 sehingga Pernyataan 2 benar.
Cek Pernyataan 3:
Bilangan komposit adalah bilangan bulat positif yang memiliki lebih dari 2 faktor positif. Perhatikan bahwa x= 23 merupakan bilangan terbesarnya, tetapi bukan bilangan komposit karena hanya memiliki dua faktor positif. Sebaliknya, adalah bilangan prima. Dengan demikian, Pernyataan 3 salah.
Cek Pernyataan 4:
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif yang memiliki tepat faktor positif. Perhatikan bahwa merupakan bilangan terkecilnya dan sendiri merupakan bilangan prima karena hanya habis dibagi oleh dan Dengan demikian, Pernyataan 4 benar.
Jadi, centang ketiga pernyataan berikut karena bernilai benar.

Soal Nomor 3

Dalam sebuah pameran, panitia ingin menyusun 420 suvenir ke dalam beberapa kotak. Setiap kotak harus berisi jumlah yang sama, dan banyaknya suvenir dalam satu kotak harus merupakan bilangan kuadrat sempurna.
Tentukan pernyataan berikut yang bernilai benar dengan memberi tanda centang (√) pada kotak di depan pernyataan yang benar.

( ) Banyak kotak maksimal yang diperlukan panitia adalah 420 kotak.

( ) Banyak kotak minimal yang diperlukan panitia adalah 105 kotak.

( ) Jika setiap kotak berisi 9 suvenir, akan ada 6 suvenir yang tersisa.

Pembahasan :

Perhatikan bahwa bilangan kuadrat sempurna yang merupakan faktor dari

adalah 1 dan 4

Cek Pernyataan 1:
Jika setiap kotak hanya memuat 1 suvenir, maka akan ada 420 kotak yang dapat dibuat. Ini merupakan jumlah maksimal kotak yang diperlukan. Dengan demikian, Pernyataan 1 bernilai benar.
Cek Pernyataan 2:
Jika setiap kotak memuat 4 suvenir, maka akan ada (420 : 4 = 105) kotak yang dapat dibuat. Ini merupakan jumlah minimal kotak yang diperlukan. Dengan demikian, Pernyataan 2 bernilai benar.
Cek Pernyataan 3:
Jika setiap kotak berisi 9 suvenir, maka akan ada 6 suvenir tersisa karena (9 x 46 = 414 < 420) Dengan demikian, Pernyataan 3 bernilai benar.

Jadi, centang ketiga pernyataan karena bernilai benar.

Soal Nomor 4

Lili akan memproduksi dua jenis kue dengan modal Rp 8.000.000. Biaya produksi kue bolu sebesar Rp15.000 per kotak dan dijual dengan laba 40%. Sementara itu, biaya produksi kue bronis sebesar Rp20.000 per kotak dan dijual dengan laba 30% Setiap harinya, Lili dapat memproduksi paling banyak 500 kotak kue. Jika Lili ingin memperoleh keuntungan maksimum, tentukan pernyataan berikut yang bernilai benar dengan memberi tanda centang (√) pada kotak di depan pernyataan yang benar.

( ) Lili harus memproduksi 200 kotak kue bolu.

( ) Lili harus memproduksi kue bronis lebih banyak.

( ) Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh Lili adalah Rp3.100.000,00.

Pembahasan :

Misalkan banyaknya kotak kue bolu dan kue bronis berturut-turut dinotasikan sebagai x dan y . Dengan demikian, dapat dibentuk sistem pertidaksamaan linear berdasarkan tabel berikut.

atau dapat disederhanakan menjadi

yang merupakan kendala dari fungsi objektif

P = 40% (15.000)x + 35% (20.000)y = 6.000x + 7.000y

Dalam hal ini, akan dicari nilai maksimum dari P dengan uji titik pojok daerah penyelesaiannya.

Gambarkan grafik dari sistem pertidaksamaan linear di atas pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.

Titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah A(0,0), B(500,0), C(400,100) dan D(0,400) Uji keempat titik pojoknya pada fungsi objektif dengan menggunakan tabel seperti di bawah.

Cek Pernyataan 1:
Untuk memperoleh keuntungan maksimum berdasarkan tabel di atas, Lili justru harus membuat 400 kotak kue bolu, bukan 200 kotak kue bolu, sehingga keuntungan maksimum yang diperolehnya sebesar Rp3.100.000. Dengan demikian, Pernyataan 1 salah.

Cek Pernyataan 2:
Dari tabel di atas, keuntungan maksimum tercapai ketika Lili memproduksi 400 kotak kue bolu dan 100 kotak kue bronis. Ini berarti, kue bronisnya lebih sedikit dibandingkan kue bolu. Dengan demikian, Pernyataan 2 salah.

Cek Pernyataan 3:
Dari tabel di atas, terlihat bahwa keuntungan maksimum yang dapat dicapai Lili adalah Rp3.100.000. Dengan demikian, Pernyataan 3 bernilai benar.
Jadi, centang pernyataan berikut karena bernilai benar.

() Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh Lili adalah Rp3.100.000,00.

Soal Nomor 5

Rata-rata nilai ujian 17 murid adalah 83. Ada 3 murid yang mengikuti ujian susulan sehingga rata-rata nilai ujian dari 20 murid menjadi 82.
Tentukan pernyataan berikut yang bernilai benar dengan memberi tanda centang (√) pada kotak di depan pernyataan yang benar terkait dengan nilai ketiga murid yang mengikuti ujian susulan. Jawaban benar lebih dari satu.

( ) Jumlah nilai ketiga murid yang mengikuti ujian susulan adalah 229

( ) Rata-rata nilai ketiga murid yang mengikuti ujian susulan lebih dari 70

( ) Nilai terendah dari ketiga murid yang mengikuti ujian susulan tidak kurang dari 29

( ) Nilai tertinggi dari ketiga murid yang mengikuti ujian susulan lebih dari 76

( ) Jangkauan data nilai ketiga murid yang mengikuti ujian susulan lebih dari 71

Pembahasan :

Total nilai ujian 17 murid adalah 17 x 83 = 1.411. Setelah ditambah dengan 3 murid yang ikut ujian susulan, total nilai berubah menjadi 20 x 82 = 1.640. Artinya, selisihnya akan menjadi total nilai yang diperoleh ketiga murid yang susulan tersebut, yaitu 1.640 - 1.411 = 229

Cek Pernyataan 1:
Jumlah nilai ketiga murid yang mengikuti ujian susulan adalah 229 Ini adalah pernyataan yang benar sesuai dengan perhitungan di atas.

Cek Pernyataan 2:
Rata-rata ketiga murid yang mengikuti ujian susulan adalah (229/3)>(210/3 =70) Dengan demikian, Pernyataan 2 juga benar.

Cek Pernyataan 3:
Andaikan dua murid yang ikut susulan memperoleh nilai 100. Akibatnya, nilai murid yang satunya lagi adalah 229 - 2 x 100 = 29. Ini adalah nilai terendah yang mungkin diperoleh. Dengan demikian, pernyataan bahwa nilai terendah dari ketiga murid yang mengikuti ujian susulan tidak kurang dari 29 adalah pernyataan yang benar.

Cek Pernyataan 4:
Perhatikan bahwa 229 = 3 x 76 + 1 Ini berarti, kombinasi nilai dari ketiga murid yang ikut susulan agar nilainya sedekat mungkin adalah 77, 76, 76. Dengan demikian, pernyataan bahwa nilai tertinggi dari ketiga murid yang mengikuti ujian susulan lebih dari adalah76 pernyataan yang benar.

Cek Pernyataan 5:
Andaikan dua murid yang ikut susulan memperoleh nilai 100. Akibatnya, nilai murid yang satunya lagi adalah 229 - 2 x 100 = 29. Ini adalah nilai terendah yang mungkin diperoleh sehingga kombinasi nilai mereka adalah 100, 100, 29. Data ini menunjukkan jangkauan tertinggi yang dapat terjadi, yaitu 100 - 29 = 71. Dengan demikian, pernyataan bahwa jangkauan data nilai ketiga murid yang mengikuti ujian susulan lebih dari 71 adalah keliru.

Jadi, centang keempat pernyataan berikut karena bernilai benar.

( ) Jumlah nilai ketiga murid yang mengikuti ujian susulan adalah 229

( ) Rata-rata nilai ketiga murid yang mengikuti ujian susulan lebih dari 70

( ) Nilai terendah dari ketiga murid yang mengikuti ujian susulan tidak kurang dari

( ) Nilai tertinggi dari ketiga murid yang mengikuti ujian susulan lebih dari 29

Soal Nomor 6